سلام
معادله که مشخصا یک معادله‌ی ریکاتی است.
کافیه یکی از جواب‌ها رو حدس بزنیم بعد جایگزاری و حل معادله‌ی جدید
حدس زدن یک جواب معادله هم که کاری نداره، یه نگاه به صورت سوال بندازی می‌بینی اگه به‌جای وای، ایکس بذاری معادله درست در میاد. بنابراین y1=x
تو ویکیپدیا یه توضیح کوتاه داده:
معادله ریکاتی - ویکیپدیا
بنابراین تغییر متغیر ما میشه y=x+1/u که به دست میاد:
(1/u(x)+x)' = (1/u(x)+x)^2 - x (1/u(x)+x)+1
و اگه سادش کنیم میشه:
u'= -xu -1
(با فرض اینکه تو ساده‌کردن اشتباه نکردم)
خودتون باید این معادله رو بر حسب u حل کنین و بعد که u به دست آمد جواب نهایی شما به این صورت خواهد بود:
y=y1+1/u
(y1 که همون xه اما u رو باید بدست بیاریم)
حالا تا اینجاش که حل کردم بذارین بقیشم حل کنم:
به طرفین اضافه کنین:
xu
du/dx+xu = -1
در طرفین ظرب کنین:
e^(x^2/2)
e^(x^2/2) du/dx+ xu e^(x^2/2) = -e^(x^2/2)
جایگزاری کنین:
x e^(x^2/2) = d(e^(x^2/2))/ dx
e^(x^2/2) * du/dx + d(e^(x^2/2))/dx * u = -e^(x^2/2)
فرمول زیر رو به طرف چپ معادله اعمال می‌کنیم:
dg/dx * f+ df/dx * g = d(f g)/( dx)
d(e^(x^2/2) y(x)) / dx = -e^(x^2/2)
از طرفین نسبت به ایکس انتگرال می‌گیریم:
$d/dx(e^(x^2/2) u) dx = $-e^(x^2/2) dx
انتگرال‌ها رو محاسبه می‌کنیم:
u e^(x^2/2) = ؟؟؟
و اینجاست که من انتگرال طرف راست رو بلد نیستم و همه‌ی زحماتمون به فنا میره
، این سوالارو از کجا می‌یارین واقعا؟
