منتخب بازارچه

برگزیده های پرشین تولز

ملاحظاتى اساسى پيرامون كاربرد رياضيات در اقتصاد

soroush_tayyebi

Registered User
تاریخ عضویت
15 می 2009
نوشته‌ها
513
لایک‌ها
110
سن
30
محل سکونت
Tehran
ملاحظاتى اساسى پيرامون كاربرد رياضيات در اقتصاد
يداللّه دادگر(1)



چكيده:


كاربرد رياضيات در رشته اقتصاد نسبت به ساير رشته‏هاى علوم اجتماعى بسيار برجسته‏تر است. با وجودى كه ابزار رياضى براى درك بهتر و سريع‏تر اقتصاد، كمك شايانى به اين علم مى‏كند، در عين حال، عدم توجه به ملاحظاتى پيرامون جايگاه اين ابزار و ورود به محدوده افراط و تفريط در مورد آن موجب كاستن اعتبار آن مى‏شود. اين مقاله در صدد است به اين گونه ملاحظات بپردازد. ابتدا بطور مختصر به طرح بحث اشاره مى‏شود. سپس به تحولات موضوع و در بخش بعدى به مسائل و دشواريهاى حوزه مربوطه پرداخته مى‏شود. تاكيد بر چند نتيجه مهم بخش پايانى را تشكيل مى‏دهد.



واژگان كليدى:


رياضيات، اقتصاد، اقتصاد محض

1 ـ طرح بحث و موضوعات اوليه
رياضيات شعبه‏اى از علوم است كه علميت آن جنبه محض و خالص دارد. به اين صورت كه بر خلاف علوم طبيعى (از قبيل فيزيك، شيمى، زيست‏شناسى، زمين‏شناسى و اخترشناسى) و همچنين برخلاف علوم اجتماعى (مانند اقتصاد، جامعه‏شناسى، روانشناسى، تاريخ و علوم سياسى) كه بررسى آنها نيازمند به علوم ديگرى (مثل منطق و رياضيات) است، براى اثبات گزاره‏هاى رياضى نياز به علوم ديگرى نيست.(2) در عين حال خود علم رياضى براى اثبات ديگر علوم به كار مى‏رود. مثلاً علم فيزيك كه پيشاهنگ علوم طبيعى است براى اثبات تئوريهاى خود از رياضيات استفاده مى‏كند. در ميان علوم اجتماعى، علم اقتصاد بيشترين ارتباط با رياضيات را به خود اختصاص داده است. پس از اقتصاد، رشته مديريت نيز استفاده‏هاى فراوانى از رياضيات در تحليل مسائل خود مى‏نمايد.
استفاده از رياضيات در اقتصاد پس از تثبيت مكتب نئوكلاسيك با وسعت بيشترى پى‏گيرى شد و پس از جنگ دوم جهانى بسيار تشديد شد؛ به گونه‏اى كه كاربرد شديد رياضيات در اقتصاد در مواردى به عنوان يك انقلاب در روش تعبير مى‏شد.
با ملاحظه اجمالى برنامه‏هاى آموزش رسمى اقتصاد در دانشگاهها و همچنين با مشاهده مقالات علمى در اين زمينه، فرايند وسيع رياضى سازى در رشته اقتصاد پس از جنگ جهانى دوم آشكار مى‏شود. زمينه‏ها و عوامل مختلفى را مى‏توان براى وضعيت ياد شده مطرح نمود كه يكى از مهمترين آنها طرح مقوله علمى بودن يا علمى نبودن اقتصاد در فضاى پس از جنگ مى‏باشد. ريشه بحث به معنا دارى گزاره‏ها و معيار علمى بودن آنها برمى گردد كه از دهه 1920 در قالب تفكر اثبات گرايان منطقى مطرح شد. در آن زمان در محافل علمى اين امر تثبيت شد كه هر معرفتى بخواهد علمى محسوب شود و يا اعتبار علمى بودن كسب كند، بايد بتواند گزاره‏هاى خود را يا به صورت تجربى آزمون كند و يا به شكل رياضى درآورد.(3)
اصولاً يكى از نقشها و وظايف علمى اقتصاددانها، اين است كه فرضيات و قواعد مربوط به متغيرهاى اقتصادى را بيان كنند و يكى از راههاى ارائه اين گونه بيانها استفاده از رياضيات است. زيرا روابط مذكور را مى‏توان در قالب مجموعه‏اى از الفاظ و جملات توصيف نمود و آنها را به شكل هندسى (نمودارى) ترسيم كرد(4) و يا به صورت رياضى صورت بندى نمود.

بيان ادبياتى و توصيفى براى همه قابل فهم است و از سادگى قابل توجهى برخوردار است. اما اين ابزار در همه اوضاع و احوال پاسخگو نيست. از اين رو در مواردى روش هندسى از آن كارآمدتر خواهد بود. اما گاهى پيچيدگى گزاره‏هاى مورد بحث و يا فراوانى متغيرها به گونه‏اى (مثلاً از 3 به بالا) مى‏شود كه تنها راه تجزيه و تحليل آنها ابزار رياضى خواهد بود.
با وجودى كه بسيارى از مباحث اقتصادى، سر و كار نزديكى با رياضيات دارند، اما چند موضوع ارتباط ملموس‏ترى با آن دارند. يكى از اين موضوعات مقوله اقتصاد سنجى است. ديگرى الگوى تعادل عمومى است، تجزيه و تحليل داده‏ها و ستانده‏ها، برنامه ريزى خطى، تئورى بازيها، كاربرد منحنيهاى بى تفاوتى و موارد مشابه از ديگر زمينه‏هاى ارتباطى دقيق بين اقتصاد و رياضيات محسوب مى‏شوند. از ميان دروس اقتصادى برخى مانند اقتصاد خرد، اقتصاد رشد، بخشهايى از اقتصاد منابع، اقتصاد انرژى، ابعادى از اقتصاد رفاه، همچنين موضوعاتى خاص در درون برخى گرايشها مانند مباحث تحقيق عمليات و كنترل تئورى، كاربرد وسيع‏ترى از رياضيات را به همراه دارند.
در هر صورت كاربرد رياضيات در اقتصاد، حداقل نوعى تحول در مطالعات مربوط به روشهاى علمى در قالب ياد شده محسوب مى‏شود. بنابراين انديشمندانى كه در تكامل اين روش نقشى داشته‏اند، قابل تقدير هستند. در عين حال هر نوع نگرش حاد به كاربرد رياضيات چه به صورت بلند پروازى رياضى سازى افراطى در اقتصاد و چه به صورت حمله كردن به كاربرد آن در اقتصاد و رياضى زدايى از آن، موجب دشواريهاى جدى مى‏شود. اين بحث همچنان فراگير، جنجالى و باز مى‏باشد. در بخشهاى بعدى روند تكاملى كاربرد رياضيات در اقتصاد و دشواريهاى مربوط به آن اشاره مى‏شود و سرانجام نكات كليدى مقاله در يك جمع بندى كلى مورد تأكيد قرار مى‏گيرد.


2 ـ مرورى بر تحولات كاربرد رياضيات در اقتصاد

گروهى از طرفداران كاربرد رياضيات در اقتصاد، عقيده دارند كه از زمانى كه اقتصاد به عنوان يك علم مطرح شده با كاربرد رياضيات همراه بوده است. نكته‏اى كه تذكر آن مفيد به نظر مى‏رسد، نقش رياضى دانان و مهندسان در تكامل تئورى اقتصادى و در تدوين گرايش اقتصاد رياضى است كه در اين بخش ملاحظه خواهد شد. به بيان ديگر، يك دليل مستقل براى توجيه جهت‏گيرى رياضياتى علم اقتصاد متعارف، انجام مطالعات زيادى است كه توسط دو گروه مذكور در اقتصاد به وقوع پيوسته است. اين امر، زمينه انتقاد ديگر اقتصاد دانانى كه تمايل زيادى به كاربرد رياضيات در اقتصاد ندارند را برانگيخته است.(5)
اگر منشاء كاربرد رياضيات را بر مبناى تكامل برخى از شعبات علم اقتصاد در نظر بگيريم، اين موضوع سابقه‏اى طولانى دارد. مثلاً اقتصاد سنجى يكى از شعبات اين علم است كه در آن، استفاده قابل توجهى از رياضيات مى‏شود. تدوين اين رشته به اواخر قرن 17 و اوايل قرن 18 و در چارچوب تلاش «چارلز داوينه»(6) برمى‏گردد. اين در حالى است، كه معروف است كه علم اقتصاد ساخته و پرداخته اقتصاددانان كلاسيك (و بويژه آدام اسميت) در قرن 18 ميلادى است.

چارلز داوينه مقوله‏اى به نام حساب سياسى تعريف مى‏كند كه به معناى هنر استدلال نمودن با كمك اعداد و ارقام و نمودارها مى‏باشد. گذشته از وى مى‏توان از دكتر كنه نام برد، كه در تكامل اقتصاد سنجى نقش قابل توجهى داشته است.(7) البته ذكر اين نكته لازم به نظر مى‏رسد كه كاربرد عبارت «اقتصاد سنجى» در سال 1926 توسط «رنگر فريش»(8) آغاز شد.
بطور اساسى‏تر و سازگارتر بايد تلاش «كرنو»(9) را براى كاربرد رياضيات در اقتصاد، حركتى آغازين تلقى نمود، وى تاكيد زيادى بر اين امر دارد و در مواردى نوشته هايش در زمينه رياضيات (در سال 1838)، بخشى از ادبيات اوليه بحث را تشكيل مى‏دهد. كرنو در خود رياضيات نيز تحولاتى به عمل آورد. وى نقش رياضيات را محدود به بيان داده‏هاى آمارى ندانسته، عقيده داشت كه بايد از رياضيات در بررسيهاى واقعى روابط ميان متغيرها استفاده نمود. براى وى اين يك موضوع اساسى محسوب مى‏شد. كه چارچوبى از تئورى در اختيار داشته باشد كه با واقعيتهاى زندگى اقتصادى سازگار باشد.

انتشار نوشته‏هاى «والراس»(10) در سال 1870 و بويژه كتاب علم اقتصاد محض وى در سال 1874 نوشته‏هاى «پارتو» در سال 1893 و مقاله «جان نيومن»(11) در سال 1928 را مى‏توان اولين مجموعه‏اى دانست كه در كاربردهاى جديد رياضيات در اقتصاد تدوين شده است. «پارتو»(12) به همراه «فرانسيس اجورث» (1926-1845F.Y.Edgeworth, ) منحنى بى‏تفاوتى را طراحى كرد، كه آن هم قدم ديگرى در تكامل اقتصاد رياضى محسوب مى‏شود.
گذشته از اينها، ايرونيگ فيشر (1947-1867I. Fisher, )، رياضيدان و اقتصاددان معروف نيز، تز دكترى خود را تحت عنوان «ارزيابى رياضى نظريه ارزش و قيمت» در سال 1892 منتشر ساخت كه اين نيز تلاشى ديگر در تكامل اقتصاد رياضى محسوب مى‏شد. همچنين گوستاو كسل (1945-1866K.J. cassel, )، تين برگن(Tinbergen)، جان هيكس(J. Hicks)، موريس آليس(M. Allais)، ساموئلسون(Samuelson)، جان نش(J. Nash)، تجالينگ كوپمنز(T.C. Koopmans) و امثال آن نيز در تحولات اين رشته نقش داشته‏اند. تين برگن در سال 1930 مدلهاى جديدى در زمينه اقتصاد سنجى طراحى كرد و جان هيكس نيز كتابى منتشر ساخت كه قدم جديدى در اين عرصه محسوب مى‏شود.(Hicks: 1939)
قابل توجه است كه اگر چه ريشه تحولات اقتصاد رياضى به اروپا مربوط مى‏شود، اما گسترش آن عمدة در آمريكا صورت گرفت. زيرا در آمريكا براى حل مشكلات اقتصادى خود، تلاش مى‏كردند كه از تكنيكهاى رياضى، استفاده بيشترى به عمل آورند. «پل داگلاس» و «چارلز كاب» به دنبال طراحى تابع توليد مخصوص خود قدم ديگرى در تكامل كاربرد رياضيات در اقتصاد برداشتند.(13) استفاده از تكنيكهاى رگرسيونى براى برآورد شاخصهاى اقتصادى، استفاده از تئورى احتمال و تئورى بازيها(14) بخش ديگرى از ادبيات موضوع را تكامل بخشيدند.
كاربرد رياضيات در مقوله اقتصاد رفاه، اقتصاد بين الملل، الگوسازى در پول و بانكدارى، تحليل مسأله اشتغال در بازار كار، آزمون تئوريهاى اخير، محاسبات وسيع كامپيوترى، پيچيده‏تر شدن رفتار متغيرهاى اقتصادى نيز باعث گسترش بيشتر اين رشته شده است. در عين حال در ارتباط با ارزش گذارى اعتبار رياضيات و ميزان و قلمرو كاربرد آن در اقتصاد، بين صاحب نظران اقتصادى، اختلاف نظر قابل توجهى وجود دارد كه در بخش بعدى به برخى از آنها مى‏پردازيم.


3 ـ مسائل و دشواريها

در اين بخش ضمن پرداختن به فوائد مربوط به كاربردهاى صحيح رياضيات در اقتصاد به مشكلات استفاده نامناسب از آن نيز اشاره مى‏كنيم. اصولاً رياضيات اگر به عنوان يك ابزار علمى مورد استفاده اقتصاد قرار گيرد و به صورتى سازگار با ماهيت خود و اهداف اقتصادى ملاحظه شود. منافع بسيار زيادى در اقتصاد دارد. مثلاً قبل از طراحى رشته اقتصاد سنجى، از آمار و رياضيات بطور مستقل استفاده مى‏شد و منافع زيادى از اين روشها حاصل نمى‏شد. اما با وجود ايجاد يك شعبه از اقتصاد رياضى يعنى اقتصاد سنجى(15) (كه نوعى تجزيه و تحليل آمارى و رياضى تئوريهاى اقتصادى است.) منافع مربوطه چند برابر مى‏شود.(16) اصولاً اقتصاد سنجى جهت نزديك كردن مطالعات تئوريك اقتصادى با واقعيتهاى جامعه، مقوله‏اى كارساز مى‏باشد.
عنوان ديگرى كه در قالب استفاده از رياضيات در اقتصاد به ميزان وسيعى مطرح است، تعادل عمومى است، كه با شيوه خاصى به بررسى روابط بسيارى از متغيرهاى اقتصادى مى‏پردازد. در قالب تعادل عمومى مجموعه‏اى از روابط پيچيده رياضى براى تحليل عناصر اقتصادى بكار مى‏روند.
تجزيه و تحليل داده‏ها و ستانده‏ها از عناوين ديگرى است كه كاربرد دقيقى از رياضيات در اقتصاد را نشان مى‏دهد. اين تجزيه و تحليل، در واقع عصاره و روح تعادل عمومى را در يك قالب ساده شده مطالعات تجربى ارائه مى‏نمايد. از اين رو شايد بتوان آن را شكل خاصى از تعادل عمومى تصور كرد. ضمنا كاربرد تجزيه و تحليل داده و ستانده در جوامع با **** متمركز بيشتر از ديگر نظامهاى اقتصادى مى‏باشد. همچنين تئورى بازيها، برنامه‏ريزى خطى و امثال آن از ديگر زمينه‏هاى بسيار مهم و كارساز در كاربرد رياضيات در اقتصاد هستند. تئورى بازيها مطالعه رفتار تصميم گيرندگان مستقلى را به عهده دارد كه منافع آنها به برخورد همكارانه يا غير همكارانه رقباى آنها بستگى دارد. (Shubick, 1983) برنامه‏ريزى خطى يك تكنيك بهينه يا بى مى‏باشد كه اولين بار در سال 1947 توسط «دانت زيگ»(Dantzig) پيشنهاد شده، هر چند قبل از وى جان نيومن و كانترو ويچ زمينه‏هاى اوليه آن را ترسيم كرده بودند.(Luenberger, 1984)
بى توجهى به انتظار واقعى از رياضيات و كاربرد ناسازگار آن باعث شده كه در حال حاضر توافقى فراگير در مورد كاربرد آن در اقتصاد وجود ندارد. به بيان ديگر اگر رياضيات به عنوان يك ابزار در اقتصاد بكار رود، مى‏تواند كارايى مطالعات مربوطه را بالا ببرد. اما اگر «هدف» قرار گيرد، مشكل ساز است. به قول صاحب نظر معروف اقتصاد رياضى آلفا چيانگ، اقتصاد رياضى رشته مستقلى نبوده، بلكه يك نگرش محسوب مى‏شود. برخى عقيده دارند كه رياضيات به موضوعات مورد بررسى جلوه فنى مى‏دهد. بنابراين در علومى مثل فيزيك، شيمى و اخترشناسى و ساير علوم طبيعى قابليت استفاده زيادى دارد، زيرا رفتار پديده‏هاى علوم مذكور عمدة تابع قوانين دقيقى هستند.
اما رياضيات در علوم اجتماعى كه در قالب آنها، رفتار انسانى و اجتماعى محور اصلى است، كاربردى زيادى ندارد. زيرا رفتارهاى ياد شده تابع قوانين دقيقى نخواهند بود. ديگر اين كه، با وجودى كه روابط انسانى تحت تأثير متغيرهاى زيادى قرار مى‏گيرند، اما عناصر رياضى در قالبهاى معينى، تعريف مى‏شوند. بديهى است، اگر انتظار از رياضيات درست تعريف شود، بحث فوق مطرح نخواهد بود. زيرا در آن صورت رياضيات صرفا براى ساده كردن و شفاف ساختن تئوريهاى اقتصادى است و نبايد از رياضيات انتظار تئورى سازى داشت.(17)
يك هشدار ديگر در مورد كاربرد رياضيات اين است كه معمولاً در قالب آن، عناصر ساده و قابل اندازه‏گيرى قرار مى‏گيرد، در نتيجه در مطالعه مربوط به آن، بسيارى از روابط پيچيده و غير كمى با وجود اهميت زيادى كه دارند، ممكن است كنار گذاشته شوند. بحث ديگر، خلط ابزار و هدف در كاربرد رياضيات مى‏باشد. بايد توجه داشت كه هدف از كاربرد ابزار رياضى، كشف قوانين مطابق با واقع در اقتصاد است، و نه ظاهر سازى و علم نمايى.(18)

خلط جنبه فنى با جوانب سياسى اجتماعى، از ديگر هشدارهاى مورد توجه در اين رابطه است. اصولاً اقتصاد دانان در كاربرد رياضيات با علائم و فرمولها و اعداد سر و كار دارند. بنابراين ممكن است، در مواردى از واقعيات اجتماعى سياسى جامعه دور افتند. به عنوان مثال سياست گذاران اقتصاد ايران در دوره 8 ساله پس از جنگ با كاربرد شاخصها و اعداد نشان مى‏دهند كه اقتصاد، با استفاده از نسخه تعديل اقتصادى از صندوق بين المللى پول، فرايند پويا و موفقى داشته است. ولى اين همه معضلات اقتصادى، اجتماعى، سياسى و فرهنگى كه عمدة حاصل عملكرد دولتمردان آن دوره است، چگونه توجيه مى‏شود.(19) به نظر مى‏رسد در طراحى مدل تعديل اقتصادى براى ايران به ساختارهاى اصلى اقتصاد كشور توجه كافى نشده است.

جلوه كمى و علمى دادن به تئورى اقتصادى، از ديگر زمينه‏هاى كاربرد رياضيات در اقتصاد است. برخى از اقتصاد دانان علاقه دارند، كه امور تئوريك را به صورت كاملاً كمى جلوه دهند. ايروينگ فيشر كه مولف اولين كتاب اقتصاد رياضى نيز محسوب مى‏شود، تصريح مى‏كند، تا تئورى اقتصادى، منجر به تجزيه و تحليل كمى نشود بى فايده است و رياضيات اين قدرت تحليل را دارد.(20)
گويى كمّى كردن تئوريها و جلوه رياضياتى دادن به آن، علميت و اعتبار علمى نيز براى آن به همراه داشته است. همچنين عده‏اى طرح كاربرد وسيع رياضيات از نظر گاليله را به تمام رشته‏ها سرايت مى‏دهند.(21) لئونتيف نيز تاكيد زيادى دارد كه امور اقتصادى را كمّى نمايد و اختراع دستگاه داده ـ ستانده توسط وى، نمونه اين امر است. در عين حال كار وى بسيار ارزشمند است و رياضيات را در جايگاه مناسب خود به كار برده است.

با وجودى كه طراحى تئوريها با استفاده از رياضيات، جنبه فنى به آن مى‏دهد و براى ساده سازى آن مفيد است، اما دو مطلب را در اين مورد بايد در نظر داشت: يكى اين كه اين امر لزوما اعتبار علمى براى مطالعه مذكور به همراه ندارد، زيرا علمى بودن به انسجام و روشمندى و سازگارى محتوا و دارا بودن قابليت بررسى و غير جانب دارانه بودن و امثال آن مربوط است و اين لزوما با ورود رياضيات تأمين نمى‏شود. دوم اين كه اصولاً برخى از عناصر اقتصادى، قابليت كمى شدن ندارند. مثلاً بسيارى از ابعاد انگيزه‏هاى كارگزاران اقتصادى و اهداف اصلى برنامه ريزان اقتصادى و بسيارى از نهادها و سنتهاى اقتصادى و انديشه‏ها و عقايد اقتصادى از اين نمونه است.
ذكر بيانى از ماكس وبر در اين رابطه مفيد به نظر مى‏رسد. وى تصريح مى‏كند كه: علوم طبيعى مبتنى بر رياضيات، بر دو عنصر متكى است: يكى همان تفكر عقلانى است كه از فلسفه يونان نشأت گرفته و ديگرى آزمون تجربى است كه مربوط به دوره رنسانس است.(morishima, 1984) اشاره به اين امر توسط (وبر) كه خود صاحب نظر متدلوژى در علوم اجتماعى است، قابل تأمل است. به بيان ديگر اين گونه نيست كه تمامى ابعاد استفاده از رياضيات در اقتصاد از يك ضرورت واقعى شكل گرفته و روندى طبيعى و سازگار داشته باشد.
والراس و مشكلات تئورى «اقتصاد محض»
ريشه برخى از مسائل ياد شده، به تصوير اقتصاد به عنوان يك علم تجربى و طبيعى برمى گردد كه عمدة از زمان والراس آغاز شد. والراس به خاطر تجربى ساختن علم اقتصاد بطور وسيع از رياضيات استفاده مى‏كند. او در ترسيم اقتصاد محض، گويى از فيزيك محض سخن مى‏گويد.
والراس در يك جا مى‏گويد: در اقتصاد محض، بايد فرض كنيم، بازار كاملاً رقابتى است. همانطور كه در مكانيك محض فكر مى‏كنيم، هيچ نوع اصطكاكى وجود ندارد. اقتصاد نيز همانند نجوم و مكانيك، علمى تجربى و عقلانى است.(Ibid) ساموئلسون، كوپمانزو استيون نيز تصريح مى‏كنند كه: اقتصاد با مطالعه پيرامون تجربيات ارتباط دارد همانطور كه فيزيك يا زيست‏شناسى نيز چنين هستند.(Ibid)
بديهى است علم محض والراسى با وجود منافع علمى، كاربرد قابل توجهى در جهان واقعى ندارد. البته پرفسور «ارو» و همچنين پرفسور «هان» تصريح مى‏كنند كه حتى 70 سال پس از مرگ والراس هم هنوز اقتصاد تبديل به علم محض نشده است.(Arrow, 1988) اساسا تجسم اقتصاد محض والرسى، همان الگوى تعادل عمومى رقابتى وى است كه جنبه غير واقعى دارد و به همين خاطر از دهه 1960 به بعد تلاشهاى زيادى براى تعديل و يا جايگزينى آن به عمل آمده است. در الگوى مربوطه فرض مى‏شود كه كليه قيمتها در بازار به صورتى آزادانه تعيين مى‏شوند. بديهى است، اين فرض، حتى در بخش وسيعى از بازارهاى كشورهاى پيشرفته نيز واقعيت ندارد تا چه رسد به اقتصاد ديگر كشورها. اين است كه الگوى والراسى عملاً به صورت يك مدينه فاضله، قابل ذكر است و در بسيارى از كشورها اساسا كاربرد ندارد.
اگر قرار باشد، قضاياى رياضى در تحليل اقتصادى، جنبه واقعى داشته باشند، بايد اين قضايا با شرايط اقتصادى جامعه مورد نظر سازگار باشند. به همين خاطر جدول داده ستانده در يك كشور سوسياليستى با يك **** سرمايه دارى و يا اسلامى تفاوت دارد. جالب توجه است كه پيچيدگى جهان واقعى به گونه‏اى است كه حتى در درون **** سرمايه دارى چندين زير **** وجود دارد كه با هم تفاوت جدى دارند. **** سرمايه دارى در ژاپن با **** سرمايه دارى در انگلستان تفاوت دارد مثلاً **** سرمايه دارى در آلمان با **** سرمايه دارى در آمريكا متفاوت است.(ر.ك: دادگر، 1380: صص 26-6)
همين طور در كشورهاى سوسياليستى و اسلامى نيز زير نظامهاى مختلفى وجود دارند. نگرش اسلامى در مالزى و پاكستان، با نگرش اسلامى در ايران و مصر تفاوت دارد. ديدگاه اسلامى در افغانستان با نگرش اسلامى در لبنان متفاوت است. گرايش سوسياليستى در چين با روسيه يكسان نيست. انديشه سوسياليستى در كوبا با كره شمالى يكسان نيست. بنابراين عقلايى نيست به دنبال كاربرد يك الگوى رياضى جهان شمول جهت كاربرد در يك تئورى اقتصادى باشيم.
اصولاً كاربرد نامناسب هر ابزار و استفاده از آن بيش از توان واقعى‏اش داراى بازدهى نهايى منفى خواهد بود. در بسيارى از كشورهاى غربى و بويژه در دنياى آنگلوساكسون كاربرد رياضيات در اقتصاد بطور وسيعى بالاتر از ظرفيت علمى آن است. اما ابزار رياضى در چين و ژاپن و تا حدودى در روسيه و حتى در آلمان و فرانسه، به ميزان كمترى حاكم شده و لذا دشوارى زيادى به همراه ندارد.(22)
البته در صورتى كه صاحب نظران اقتصادى و رياضى، ابتدا به مطالعه عميق و همه جانبه جامعه مورد نظر بپردازند و اطلاعات لازم در امور اجتماعى نهادى، فرهنگى و حتى امور تاريخى آن بدست آورند، سپس از الگوهاى رياضى در طراحى امور اقتصادى استفاده كنند، اين امر هم موجب پيشرفت مطالعات اقتصادى مى‏شود و هم زمينه گسترش قضايا و قواعد رياضى را فراهم مى‏كند. لئونتيف در مقاله‏اى كه به افتخار «ويلارد جيبس» رياضيدان معروف ارائه مى‏دهد، تصريح مى‏كند كه رياضيات مى‏تواند در مواردى از طراحى و پاسخگويى به مشكلات اقتصادى، به گسترش قواعد خود نيز بپردازد.(Leontief, 1954)

اصولاً برخى از مواد اقتصادى قابليت كمى پذيرى ندارند، از اين رو در قالب انتظار از كاربرد رياضيات در اين جا مشكل مضاعفى بروز خواهد كرد. موادى چون بررسى انديشه‏ها و عقايد اقتصادى، مطالعه برخى از نهادهاى مربوط به نظامها و اهداف تصميم‏سازان و مجريان اقتصادى از اين قبيل هستند. حتى زمانى كه اقتصاد دان بتواند يك مدل تعادل عمومى صحيح را پى ريزى كند، اما فاقد پشتوانه نهادى كافى باشد (بطورى كه نتوان نتايج آن را در يك وضع واقعى مشاهده كرد)، اعتبار علمى نخواهد داشت. بديهى است، با توجه به اين كه يك تئورى مانند تعادل عمومى كل اقتصاد را به مثابه يك مجموعه به هم مرتبط طراحى مى‏كند، در صورتى كه با واقعيات جامعه مورد نظر، سازگار باشد، حركت قابل توجهى است.


سازگارى ديدگاه لئونتيف

لئونتيف در طراحى مشكلات و مسائل اقتصاددانان از منظر رياضيدانان، مهارت جالب توجهى دارد. وى كه از ديگر سردمداران كاربرد رياضيات در اقتصاد است، در عين حال آن را كارآمدتر از ديگران استفاده كرده است. او مى‏گويد: در هر **** اقتصادى يك سلسله داده وجود دارد، مقدارى منابع انسانى و غير انسانى، ميزانى اطلاعات فنى، يك سرى اهداف و ترتيبات در مورد مصرف كننده، يك چارچوب نهادى مثل بازار و امثال آن. بر اساس آنها مى‏توان رفتار يك سرى مجهولات مثل توليد، بيكارى، قيمت، سرمايه گذراى و غيره را مورد مطالعه قرار داد.(Ibid)
بخش اخير مى‏تواند، از طريق رياضيات استخراج شود. به اين خاطر است كه اقتصاد دانان و رياضى دانانى چون «دانيل برنولى»، «كرنو» و «دوپويى»(Dupuit) توانسته‏اند زمينه‏هاى استخراج تئورى تعادل عمومى را فراهم آورند.(Ibid)(23)
لئونتيف نيز بر تجربى بودن و آزمون پذيرى تئوريها تاكيد مى‏كند و طبق عقيده وى تنها در اين راستاست كه مى‏شود به كاركرد تئوريهاى اقتصادى اطمينان داشت. از اين رو با كمك رياضيات به عملياتى كردن ريزترين عناصر اقتصادى مبادرت مى‏نمايد. طبق نظر وى اقتصاد دان بايد ابتدا هدف خود را به صورتى شفاف بيان كند. هدف، گاهى امرى اثباتى، و گاهى ماهيت دستورى دارد.

مثلاً اقتصاددان بايد منظور خود را از اين كه هدف، رفتار عقلانى است روشن كند. آيا اين است كه افراد عقلانى رفتار مى‏كنند و يا بايد عقلانى رفتار كنند. بديهى است در حالت اول، نياز به تجربه است. ولى در وضعيت دوم تنها يك امر هنجارى و دستورى مورد نظر است و نياز به تجربه نيست. زيرا رياضيات مى‏تواند، به شكل اصل موضوعى به صورت يك هدف آرمانى مورد استفاده اقتصاددان قرار گيرد. مثلاً ممكن است، معناى عدالت در يك جامعه اين باشد كه براى همه حداقل رفاه فراهم شود. و حداقل مربوطه به صورت مجموعه‏اى از مواد خوراكى و پوشاكى و مسكن و آموزش و بهداشت تعريف شود. بديهى است اين امر ماهيتا امرى هنجارى است، ولى با كمك رياضيات مى‏توان آن را به سادگى بيان كرد. ملاحظه مى‏شود كه لئونتيف كاربرد رياضيات در اقتصاد را محدود به عناصر و چارچوبهايى مى‏داند.


ديگر مسائل كاربرد نامتناسب رياضيات در اقتصاد

بديهى است، برخى از عناصر كه تحليل كمّى برنمى‏تابند، در مقابل تجزيه و تحليلهاى مبتنى بر روابط تابعى دقيق (كه در قالب آن متغيرهاى مربوطه جنبه كمى و رياضى پيدا كنند.) مقاومت مى‏كنند. اصرار بر رياضى سازى امور ناسازگار غلط انداز و مشكل آفرين مى‏باشند. شايد به خاطر همين تسلط غير طبيعى روش رياضى در اقتصاد باشد كه تا زمان بروز نظريه كينز، تنها تئورى قيمت و اقتصاد خرد، قلب اقتصاد محسوب مى‏شدند، زيرا فقط اينها در قالب الگوى رياضى استخراج شده بودند.
نگرش جهان شمول و سيطره غير سازگار روش رياضى در اقتصاد ممكن است تنها به ارائه ظواهرى سيستماتيك از عناصر اقتصادى بسنده كند و الگوهاى زيبا و سازگارى (از نقطه نظر رياضى) بدست دهد، اما قادر به حل و فصل هيچ مشكل واقعى در اقتصاد نباشد. يعنى يك طمطراق ظاهرى و پرستيژى از علم محض حاصل شود، ولى بسيارى از مسائل و عناصر اصلى و واقعى كنار گذاشته شود. وانگهى با وجود اين نارسايى در بسيارى از محافل، كاربرد روش رياضى به صورت معيارى جهت ارزشمندى مطالعات مربوطه درآمده است.
بايد توجه داشت كه با وجود ظرفيت قابل توجه اقتصاد، براى كاربرد رياضيات و با وجود نقش ارزشمند رياضيات در ساده سازى امور اقتصادى، در عين حال، اقتصاد، فيزيك نخواهد شد و روشهاى آمارى و رياضى جانشين تمامى امور توصيفى در اقتصاد نخواهند شد. هنجارها، مبانى عقيدتى و اخلاقى و گرايشات روحى انسان بر رفتار وى تاثير مى‏گذارد كه در نتيجه بر امور اقتصادى مؤثر خواهد بود، اما در عين حال در همه حالات و شرايط قابليت ارائه در يك رويكرد رياضى را ندارند.
از ديگر دشواريهاى كاربرد نامتناسب رياضيات در اقتصاد خلط، ابهام و غموض مربوطه با عمق و دقت مورد نظر مى‏باشد. كاربرد رياضيات در اقتصاد (همانطور كه قبلاً نيز اشاره شد)، سهولت و دقت مى‏آورد، ولى نمى‏تواند به مدلهاى اقتصادى حقيقت، درستى، صداقت و شفافيت عطا كند. از اين رو گاهى صداقت و حقيقت فداى سهولت و زيبايى ظاهرى مى‏شود. اصولاً رياضيات بر اساس مفروضاتش و با توجه به تعاريف و شرايط مربوطه، به روشن‏تر ساختن درك امور مربوط به تئورى اقتصادى مبادرت مى‏ورزد ولى چيز ديگرى استخراج نمى‏كند.
قابل ذكر است كه كاربرد ناسازگار رياضيات در اقتصاد به حوزه اقتصاد نئوكلاسيك محدود نشده و حتى در مطالعات مربوط به اقتصاد اسلامى نيز سرايت كرده است. مطالعات ياد شده با وجودى كه مراحل اوليه خود را مى‏گذرانند و هنوز به مراحل طراحى دقيق مربوط به مبانى معرفت‏شناسى و روش‏شناسى نرسيده‏اند، در عين حال به دليل همان اهداف ظاهرى و علم نمايى، گاهى از پيچيده‏ترين ابزار رياضى براى بيان تئورى مورد نظر استفاده مى‏كنند.(دادگر، 1378: صص 40-25) با وجودى كه كاربرد رياضيات در معرفت اقتصاد اسلامى نيز مى‏تواند مفيد واقع شود، ولى كاربرد نامتناسب، مطالعه نشده و افراطى آن در رشته مذكور زيان مضاعفى خواهد داشت. زيرا ضمن دربرداشتن زيبايى ظاهرى و طمطراق علم نهايى، به خاطر وجود مبانى وسيع ارزشى در اسلام (و هر نگرش دينى ديگر)، واقع نمايى و عمق مدلهاى ياد شده بسيار كم خواهد بود.
در هر صورت اين هشدارها نبايد به منزله كم اهميت جلوه دادن نقش رياضيات در اقتصاد تلقى شود، بلكه تنها براى بهره بردارى دقيق‏تر و سازگارى علمى آن مى‏باشد، زيرا كاربرد رياضيات در اقتصاد (چه اقتصاد نئوكلاسيك بطور خاص و چه اقتصاد متعارف بطور عام و حتى اقتصاد اسلامى و غير آن) در برخى زمينه‏ها اجتناب‏ناپذير و ضرورى مى‏باشد.


4 ـ نتايج قابل ملاحظه

در اين جا فهرست وار به نوعى جمع بندى از ارتباط رياضيات و اقتصاد مى‏پردازيم.
1- اصل استفاده از رياضيات در علوم بطور كلى و علم اقتصاد بطور خاص، مفيد و تسهيل كننده مى‏باشد و از اين رو مورد توجه و تاكيد صاحب نظران اقتصاد نيز مى‏باشد.
2- استفاده اقتصاد و رياضيات از يكديگر جنبه دو طرفه دارد. به اين صورت كه از يك طرف اقتصاد براى الگوسازى، نظريه‏پردازى، ترسيم اصول موضوعه، شفاف سازى مفاد تئوريهاى خود و امثال آن از رياضيات استفاده مى‏كند و از طرف ديگر رياضيات نيز در فرايند ارتباط و همكارى با اقتصاد به گسترش قواعد خود پرداخته است. به اين صورت كه تفكر بر روى حل و فصل مشكلات اقتصادى و ايجاد پرسش در آن باعث شده كه رياضيات در پاسخ به آن، قواعد جديدى استخراج نمايد. معروف است كه برنامه ريزى خطى در رياضيات به دنبال ضرورت مطالعات اقتصادى تدوين شده است. وانگهى عقلانيت اقتصادى نيز در بهينه سازى رياضى مؤثر بوده است. زيرا براى توجيه حداكثر منافع در اقتصاد، مدلهاى رياضى و قواعد جديدى در اين رابطه بدست آمده است.
3- حل و فصل مشكل ايجاد ارتباط ميان مفاهيم تئوريك و كاربردى در اقتصاد (ايجاد ارتباط بين نظريه و عمل و تحليل آن)، ساده شدن درك مفاهيم اقتصادى، عملياتى كردن ارتباط متغيرهاى اقتصادى، آزمون تئوريها و موارد مشابه از نقشهاى مهم ديگرى است كه رياضيات مى‏تواند در كنار اقتصاد ايفا كند.
4- زمانى كه بتوان قواعد و قوانين اقتصادى و فرضيات مربوطه را به صورت رياضى بيان كرد، دقت خاصى بر مطالعه مورد نظر حاكم مى‏شود و اين روند مى‏تواند منشأ استخراج نتايج دقيقى گردد. البته در مواردى كه بررسى روابط مورد نظر پيچيدگى خاص دارند، شيوه‏هاى ادبياتى و حتى هندسى، پاسخ قانع كننده‏اى ارائه نمى‏دهند و رياضيات تنها راه حل ارزيابى علمى در اقتصاد مى‏شود.
5- يكى از زمينه‏هاى كاربرد رياضيات در اقتصاد، مقوله اقتصاد سنجى است كه در صورت وجود آمار واقعى و مبانى تئورى اقتصادى قوى، مى‏تواند در عملياتى كردن بسيارى از رفتارها، نقش جدى داشته باشد.
6- پيمودن راه افراط و تفريط در كاربرد رياضيات در اقتصاد، امرى ناپسند و ناكار آمد است. از اين رو بلند پروازى در كاربرد مذكور و يا حمله شديد و بنيان برافكن در اين رابطه، غير معقول و غير علمى است. استفاده سازگار از اين علم در اقتصاد بسيار مناسب است.
7- بايد توجه كرد كه رياضيات مانند گذشته به صورت يك ابزار در كنار اقتصاد محسوب گردد و ورود آن به مقوله هدف مى‏تواند دشوار آفرين باشد. اصولاً رياضيات ساده سازى مى‏كند ولى نظريه‏پردازى كار رياضيات به تنهايى نيست.
8- بايد ملاحظه كرد كه همه رفتارها و عناصر اقتصادى، در همه شرايط قابليت كمى شدن ندارند و در نتيجه اصرار بر كاربرد رياضى در اين حوزه‏ها صرفا نشانه استفاده از منافع شكلى و پرستيژى مى‏باشد.
9- ساده سازى رياضى نبايد باعث تحت الشعاع قرار گرفتن اهداف مهم اقتصادى و همچنين فراموش كردن عناصر پيچيده در رفتار انسانى شود. شايد بتوان پيروزى انسان بر كامپيوتر (در مسابقه اخير شطرنج) را نمودى از اين پيچيدگى انسان و ابزارى بودن رياضيات تلقى نمود.(24)
10- گروهى از اقتصاد دانان بر كاربرد رياضى بسيار تاكيد مى‏كنند و گروهى ديگر بر آن اصرار ندارند. دو اقتصاد دان معروف يعنى كينز و مارشال كه هر دو در عين حال از رياضيدانان صاحب نام نيز هستند، در اكثر تحليلهاى خود از رياضيات استفاده نكرده‏اند. اين امر لزوما نه مدح آنان محسوب مى‏شود و نه ذم آنان است.

11- كاربرد رياضيات، لزوما بيانگر علميت مطلب مورد نظر نيست.
12- كاربردهاى شكلى و علم نمايى رياضيات اخيرا در متون مربوط به اقتصاد اسلامى نيز وارد شده، بر محققان اين رشته است كه تعادل در مطالعات آن حوزه را نيز حفظ نمايند.

منابع

1 - دادگر يداللّه، تحولات اقتصاد سرمايه دارى و قرائتهاى گوناگون آن، نشريه پژوهشهاى اقتصادى، پژوهشكده اقتصاد دانشگاه تربيت مدرس، سال اول، شماره 2، تابستان و پاييز 1380.
2 - ــــــ، تحليلى كلى از اقتصاد ايران، نشريه نامه مفيد، سال 1377، شماره‏هاى 15 و 16.
3 - ــــــ، نگرشى بر اقتصاد اسلامى، انتشارات دانشگاه تربيت مدرس، 1378.
4 - دونالد مك لاسكى، خطابه علم اقتصاد، ترجمه: يداللّه دادگر و حميد اشرف زاده، نشريه نامه مفيد، سال ششم، شماره 23.
5- Bhatia, H.I., History of Economic thought, Vikas publishing house, 1992.
6- Dorfman, Robert, Application of linear programming to the theory of the firm, Berkeley 1951.
7- Friedman M. and A.schwarts, Alternative Approuches to Analysing Economic data, American Economic Review 81(1), 1991.
8- Hicks, John, vaLUE and capital, Blackwell, 1939.
9- K.j. Arrow and H.frank Hahn.General competitive Analysis, North HOll and 1988.
10- Keisler, H.T., Mathematical logic and computability, Mcgrawhill, 1996.
11- Luenberger D.E(1984) cintroduction to linear programing addison wesley.
12- Marchi, D., post poperian Methodology of Economics london, klower 1993
13- Morishima, M., the good and bad uses of Mathematics. Blackwell 1984.
14- Newman John and Oskar Morgenstern, theory of games and Economic behavior, princeton University press 1953.
15- Rosenberg, A., Mathematical politics or science of Diminishing Returns.? chicago University press, 1992.
16- W. Leontief, mathematics in Economics, Mathematical society, vol 60, 1954.
17- Wald, A., on some systems of Equations of mathematical Economics, Economica, Vol 19, 1951.
18- Windsor-preston, Rules of the game in the global Economic regimes, Klower Acadenic publisher 1992.
19- chiang, Alpha, fundamental methods of mathematical Economics, Mcgrawhill, 1984.
20- chow, G.C, Econometrics, Mcgrawhill 1988.
21- koopmans, Tjalling, statistitical inference in dynamic Economic models, willey, Newyourk, 1950.
22- leontief, W., input-output Economics, New york 1966.
23- leontief, wassily, Essays in Economics, oxford university press 1966.
24- shubick, M., game theory in the social sciences. MIT, Press 1982.
25- shubick. M(1983), game theory in the social sceinces cambridge (MIT press.)
26- stigler, Geoge, the mathematics in Economics, macmillan 1950.
27- walras, Leon, Elments of pure Economics, Irwing 1954.
28- william spiegel, Henry, the growth of Economic thought, prentice hall 1971.







1-استاديار گروه اقتصاد دانشگاه مفيد

2 ـ شايد به همين دليل است كه براى علم رياضى و علم منطق از واژه علم محض استفاده مى‏شود و آنها را در زمره علوم اجتماعى، علوم انسانى و علوم طبيعى قرار نمى‏دهند.

3 ـ اصولاً پس از جاافتادن نظريه اثبات گرايى اگوست كنت (August conte) عملاً نزديكى رشته‏ها با رياضيات و جدا شدن آنها از فلسفه ملاك علمى بودن آنها مسحوب مى‏شد. معروف است كه اخترشناسى و فيزيك، اولين معارفى بودند كه كاربرد رياضى وسيع پيدا كردند و از اين رو در مفاد كنت از اولين علوم محسوب شدند.

4 ـ بديهى است زمانى مى‏توان الگوى هندسى بكار برد كه متغيرها از سه نمونه بيشتر نشوند.

5 ـ قابل ذكر است كه از زمان كاربرد وسيع رياضيات در اقتصاد (هنگام ظهور مكتب نهايى گرايى و بعد نئوكلاسيك‏ها)، اختلاف نظر در موضوع فوق نيز آغاز گرديد. مثلاً لئون والراس (Leon walras) و پيروان او از مكتب لوزان (يكى از مكاتب نئوكلاسيك) طرفدار كاربرد شديد رياضيات در اقتصاد بودند، اما در مقابل منگر (manger) و پيروان وى از مكتب اتريش (شعبه ديگر از نئوكلاسيك)، مخالف اين مسأله بوده‏اند.

6 ـ چارلز داوينه (1714-1656charles Davenant - ) از بنيان گذاران مكتب مركانتيليسم است.

7 ـ دكتر فرانسيس كنه (1774-1694- F.quesnay) بنيان گذار مكتب فيزيوكرات مى‏باشد. او در عين حال نقش زيادى در فراهم آوردن زمينه‏هاى تدوين علم اقتصاد در زمان كلاسيك‏ها داشته است.

8 ـ رنگر فريش (R. Friesh) اقتصاد دان معروف نروژى است كه در سال 1969 اولين جايزه نوبل در اقتصاد را به همراه تين برگن بدست آورد.

9 ـ آگوستين كرنو (1877-1791A.cournot, )، رياضيدان و فيلسوف فرانسوى است.

10 ـ لئون والراس (1910-1834)، رياضيدان و اقتصاد دان مشهورى است كه به همراه جونز و ملگر پدر مكتب نهايى گرايان نيز محسوب مى‏شوند. كتاب علم اقتصاد محض وى در سال 1874 منتشر شد.

مراجعه شود به leon walras Elements of Pure Economics Irwing 1954.

11 ـ جان نيومن (1957-1903J.Newman, ) رياضى دان معروف در سال 1928 تئورى بازى‏ها را وارد اقتصاد كرد. وى در سال 1944 نيز با كمك اسكار اقتصاد دان در تكامل بيشتر اين رشته اقدام نمود.

12 ـ ويلفرد پارتو (1923-1848Vilfredo pareto, ) رياضيدان و فيلسوف ايتاليايى است.

13 ـ تابع توليد كاب داگلاس (cobb-Douglas) بصورت Y=AKaLb مى‏باشد، كه Y بيانگر توليد، K و L عوامل و نهاده‏ها و A يك ضريب ثابت مى‏باشد. در شرايط خاص جمع a و b يك مى‏شود.

14 ـ تئورى احتمال بر مبناى شانس و تصادف است، ولى تئورى بازيها بر مبناى استراتژى است.

15 ـ هر چند در حال حاضر اقتصاد سنجى به صورت درس مستقلى ارائه مى‏شود، ولى اين امر با قرار گرفتن اين درس در زير مجموعه اقتصاد رياضى در تعارض نخواهد بود.

16 ـ آندره مارشال (A. Marshall) اقتصاد دان فرانسوى، طرفداران روش رياضى را قياس گرايان و طرفداران روش آمارى را استقراگرايان و طرفداران اقتصاد سنجى را مركب از آن دو مى‏نامد.

17 ـ آندره مارشال اقتصاد دان معروف فرانسوى بر اساس نظريه رياضى دان و اقتصاد دان معروف پرفسور «الن» تصريح مى‏كند كه: رياضيات مى‏تواند فرمولها و تئوريها را شفاف سازد، ولى فرمول و تئورى سازى كار رياضى نيست.

18 ـ ويكسل اقتصاددان معروف تصريح مى‏كند كه نبايد حقيقت اقتصادى را فداى فرمول‏هاى رياضى نمود.

19 ـ به عقيده ما بسيارى از دشوارى‏هاى اقتصادى و نابسامانى‏هاى اجتماعى و سياسى فعلى كشور نيز ريشه در كاركرد بلند پروازانه و بدون مطالعه كافى دولتمردان در 8 ساله پس از جنگ دارد. رجوع كنيد به: دادگر، 1377

20 ـ ايروينگ فيشر (1947-1867) اصالتا رياضى دان بود ولى بخاطر علاقه‏اش به اقتصاد مطالعات در آن رشته را نيز ادامه داد. وى نهايى گرا است و شومپيتر وى را به عنوان بزرگترين اقتصاد دان امريكا در زمان خود معرفى مى‏كند.

21 ـ گاليله رياضيدان معروف، جمله‏اى به اين مضمون دارد كه: چيزى در طبيعت نيست مگر آن كه مى‏توان آن را با رياضيات نشان داد. البته بيان گاليله عمدة مربوط عناصر فيزيكى و طبيعى است و تمامى ابعاد زندگى انسانى را نمى‏توان با رياضى نشان داد.

22 ـ جالب توجه است كه ژاپنيها و چينيها، از رياضيات خاص چينى و ژاپنى، سخن مى‏رانند و دستگاهى چون كامپيوتر را چيزى جز «چرتكه مدرن» نمى‏دانند و اين نشانه ابزار انگارى آنها نسبت به تكنيكهاى رياضى است.

23 ـ اصولاً عرضه و تقاضا، ابتدا توسط «برنولى» (D. Bernoulli) تدوين شده است. برنولى‏ها يك خانواده فرهنگى هلندى بودند، كه همگى صاحب نظر هستند. نزولى بودن مطلوبيت نهايى را پارتو ترسيم كرد. كرنو و ديگران نيز در تدوين ديگر اجزاى تعادل عمومى نقش داشته‏اند. از اين رو در واقع والراس را احياءگر، و نه بنيان گذار تعادل عمومى بايد تلقى كرد.

24 ـ اشاره به مسابقه شطرنج باز معروف «كاسپاروف» و پيروزى وى بر كامپيوتر در يكى از بازيهاى شطرنج مى‏باشد
منبع:سایت ریاضی چی
 
بالا