سوال درمورد معادله دیفرانسیل لژاندر وابسته

[mahsa.a.j]

با سلام
من موقع حل یک مسئله به معادله دیفرانسیل زیر رسیدم:

که در آن m عدد صحیح است. باید ثابت کرد که λ به صورت n(n+1) بوده (n = عدد صحیح) تا معادله مون تبدیل بشه به معادله ی لژاندر وابسته! چه طور میتوان این قضیه را ثابت کرد؟ البته به ازای m=0 از روش حل معادله دیفرانسیل با استفاده از سری میتوان اثبات کرد λ=n(n+1) ولی برای m≠0 رو من بلد نیستم! ممنون میشم اگه راهنماییم کنید.
با تشکر

 

[mahsa.a.j]

یه سوال دیگه هم داشتم؟درهمین معادله دیفرانسیل چه طور میتوان اثبات کرد |m|≤n؟

 

[pindol]

با سلام
من موقع حل یک مسئله به معادله دیفرانسیل زیر رسیدم:
مشاهده پیوست 428944
که در آن m عدد صحیح است. باید ثابت کرد که λ به صورت n(n+1) بوده (n = عدد صحیح) تا معادله مون تبدیل بشه به معادله ی لژاندر وابسته! چه طور میتوان این قضیه را ثابت کرد؟ البته به ازای m=0 از روش حل معادله دیفرانسیل با استفاده از سری میتوان اثبات کرد λ=n(n+1) ولی برای m≠0 رو من بلد نیستم! ممنون میشم اگه راهنماییم کنید.
با تشکر

یه سوال دیگه هم داشتم؟درهمین معادله دیفرانسیل چه طور میتوان اثبات کرد |m|≤n؟

سلام
شما باید تابع psi رو به این صورت تغییر متغیر بدید: u ضربدر (I-x^2) به توان m/2 = (یو ضربدر پرانتز باز، یک منهای ایکس دو ،پرانتز بسته به توان ام دوم)
بعد به یه معادله بر حسب لاندا و ام می رسید
حالا باید با استفاده از قانون لیبنز ثابت کنی این همونه جواب درجه m(مشتق چندجمله ای لژاندر یا pn(x) معادله لژاندر هستش
که لاندا برابر n(n+1 هست
اگه این رو انجام دادی بگو اثبات قسمت دومشو بگم
فارسی نوشتم چون تایپ کردن فرمول اینجا سخت بود....

 

[pindol]

اینم از راه حل






مقایسه معادله 2 و 3 نتیجه مورد نظر رو میده

 

[mahsa.a.j]

اینم از راه حل


مشاهده پیوست 430013



مقایسه معادله 2 و 3 نتیجه مورد نظر رو میده

بسیار سپاسگذارم از از راهنماییتون
من تا اینجا رو کامل متوجه شدم:

بعد تا اونجا که فهمیدم از دوطرف معادله لژاندر مشتق مرتبه m گرفتید که به صورت زیر درمیاد:

که y[SUP]m[/SUP] یعنی مشتق مرتبه mام y تا اینجا هم درسته؟ یه سوال؟شما به جای y[SUP]m[/SUP] گذاشتید P[SUB]n[/SUB][SUP]m[/SUP] منظورتون مشتق مرتبه m ام تابع لژاندر هست دیگه؟ چون تابع وابسته ی لژاندر رو هم دقیقا با همین نماد نشون میدن! بعدش نفمیدم چه طوری از مقایسه دو تا رابطه نتیجه میشه λ=n(n+1) ؟فرض کنید به جای y[SUP]m[/SUP] بذاریم z و اینطوری بشه:

خوب حالا چه طوری از مقایسه ی رابطه بالا و رابطه ی زیر نتیجه میشه λ=n(n+1) ؟

یعنی جواب حدسی زیر رو در نظر میگیریم:

بعد با مقایسه ی دو رابطه نتیجه میگیریم که λ=n(n+1) ؟!
ببخشید من رشته م ریاضی نیست سخته واسم فهمیدنش!
ممنون میشم اگه بیشتر راهنماییم کنید.

 

[pindol]

خواهش میکنم .اون معادله ای که شما بر حسب پسی بدست آوردین معادله لژاندر وابسته هستش که فرم عمومیش بصورت زیر هست

منظور از pn جواب معادله لژاندر است که بصورت زیر می باشد و مشتق مرتبه m ام جواب لژاندر وابسته است.(میشه از فرمول رودریگز هم استفاده کرد)

واسه این متوجه نشدین که من برعکس اثباتو نوشتم.شما ابتدا باید معادله لژاندر رو بنویسین مثلا بر حسب y

،بعد با فرض جواب y=pn ،بعد مشتق مرتبه m یا مرتبه -m برای m های منفی رو بر حسب فرمول لیبنیز بگیرین و در معادله قرار بدین تا به معادله شماره 2 برسین ،با فرض u=مشتق مرتبه m جواب یا pn،بعد تغییر متغیر زیر رو بدین تا به معادله اصلی برسین ،من بر عکسشو انجام دادم یعنی شما باید پسی رو به این صورت فرض کنید

بعد شما یه معادله دارین بر حسب پسی که برحسب x و m و n(n+1 هست و یه معادله که از قبل بدست آوردین بر حسب x , m و landa
که نتیجه میده،
در مورد قسمت دوم سوال چون بزرگترین درجه n ،x می باشد پس اگر m یا m- (برای m های منفی) از n بیشتر باشه مشتق صفر میشه پس باید

m|≤n قدر مطلق m کوچکتر ازn..در ضمن منم رشتم ریاضی نیست،فکر میکنم این سوال تو ریاضیات مهندسی پیشرفته باید باشه​

 

[mahsa.a.j]

خواهش میکنم .اون معادله ای که شما بر حسب پسی بدست آوردین معادله لژاندر وابسته هستش که فرم عمومیش بصورت زیر هست
مشاهده پیوست 430452
منظور از pn جواب معادله لژاندر است که بصورت زیر می باشد و مشتق مرتبه m ام جواب لژاندر وابسته است.(میشه از فرمول رودریگز هم استفاده کرد)
مشاهده پیوست 430453
واسه این متوجه نشدین که من برعکس اثباتو نوشتم.شما ابتدا باید معادله لژاندر رو بنویسین مثلا بر حسب y
مشاهده پیوست 430477
،بعد با فرض جواب y=pn ،بعد مشتق مرتبه m یا مرتبه -m برای m های منفی رو بر حسب فرمول لیبنیز بگیرین و در معادله قرار بدین تا به معادله شماره 2 برسین ،با فرض u=مشتق مرتبه m جواب یا pn،بعد تغییر متغیر زیر رو بدین تا به معادله اصلی برسین ،من بر عکسشو انجام دادم یعنی شما باید پسی رو به این صورت فرض کنید
مشاهده پیوست 430458
بعد شما یه معادله دارین بر حسب پسی که برحسب x و m و n(n+1 هست و یه معادله که از قبل بدست آوردین بر حسب x , m و landa
که نتیجه میده،
در مورد قسمت دوم سوال چون بزرگترین درجه n ،x می باشد پس اگر m یا m- (برای m های منفی) از n بیشتر باشه مشتق صفر میشه پس باید

m|≤n قدر مطلق m کوچکتر ازn..در ضمن منم رشتم ریاضی نیست،فکر میکنم این سوال تو ریاضیات مهندسی پیشرفته باید باشه​

سلام
بسیار ممنون از راهنمایی هاتون
من دانشجوی کارشناسی هستم ریاضی مهندسی پیشرفته نگذروندم! متوجه راه حلتون شدم پس یعنی از راه حدس جواب رفتید؟ حدس زدید u به صورت مشتق mام تابع لژاندر هست بعد اثبات شد درست متوجه شدم؟ از روش سری دیگه نمیشه اثباتش کرد؟

 

[pindol]

سلام،
بله،اون حدسی که میگین،جزیی از تعریف لژاندر وابسته است.از روش سری نمیشه،چون معادله لژاندر وابسته ازخود معادله لژاندر با m بار مشتق گیری و تغییر متغیر بدست میاد.
اصلا تعریفش همینه...من طریقه بدست آوردن معادله لژاندر وابسته رو نوشتم.
صورت سوال شما اینه که این معادله به ازای چه مقادیری لژاندر وابسته است.شما از طریق تعریفش بدون هیچ اثباتی لاندا رو بدست میارین.همون فرم عمومی که نوشتم.بعضی کتاب هابا ال(l) مینویسن بعضیا با ان ...اون معادله اولی با شرط landa=n(n+1 تعریف معادله لژاندر وابستست.که در حالت 0=m شکل عمومی لژاندر هست.
حالا این جواب یا همون مشتق مرتبه m ام یه سری خصوصیات تعامد ،برگشتی و....داره.فرمولش رو هم از مشتق گیری از سری pn بدست میارن.
موفق باشید...

 

[mahsa.a.j]

سلام،
بله،اون حدسی که میگین،جزیی از تعریف لژاندر وابسته است.از روش سری نمیشه،چون معادله لژاندر وابسته ازخود معادله لژاندر با m بار مشتق گیری و تغییر متغیر بدست میاد.
اصلا تعریفش همینه...من طریقه بدست آوردن معادله لژاندر وابسته رو نوشتم.
صورت سوال شما اینه که این معادله به ازای چه مقادیری لژاندر وابسته است.شما از طریق تعریفش بدون هیچ اثباتی لاندا رو بدست میارین.همون فرم عمومی که نوشتم.بعضی کتاب هابا ال(l) مینویسن بعضیا با ان ...اون معادله اولی با شرط landa=n(n+1 تعریف معادله لژاندر وابستست.که در حالت 0=m شکل عمومی لژاندر هست.
حالا این جواب یا همون مشتق مرتبه m ام یه سری خصوصیات تعامد ،برگشتی و....داره.فرمولش رو هم از مشتق گیری از سری pn بدست میارن.
موفق باشید...

بسیار سپاسگزارم از شما
موفق و پیروز باشید