سوال درمورد معادله دیفرانسیل

[mahsa.a.j]

با سلام
من موقع حل یک مسئله به معادله دیفرانسیل زیر رسیدم:

که با تغییر متغیرزیر:

به این معادله میرسیم:

که جواب این معادله توابع لژاندرنوع اول و نوع دوم میباشد بنابراین داریم:

میخوام بدونم رابطه ی P[SUB]n[/SUB](ju) و Q[SUB]n[/SUB](ju) برحسب P[SUB]n[/SUB](u) و Q[SUB]n[/SUB](u) چیه؟ یا اصلا این توابع تعریف شده هستند؟ چه طوری تعریف میشن؟ نمودار تغییراتشون برحسب x چه طوریه؟کجا بی نهایت میشن کجا صفر؟ راه دیگه ای به جز تغییر متغیر برای این معادله وجود نداره؟ البته نه از راه سری یه جواب بر حسب توابع شناخته شده ای مثل لژاندر و... میخوام.
ممنون میشم اگه راهنماییم کنید.
با تشکر

 

[pindol]

با سلام
من موقع حل یک مسئله به معادله دیفرانسیل زیر رسیدم:
مشاهده پیوست 437169
که با تغییر متغیرزیر:
مشاهده پیوست 437170
به این معادله میرسیم:
مشاهده پیوست 437171
که جواب این معادله توابع لژاندرنوع اول و نوع دوم میباشد بنابراین داریم:
مشاهده پیوست 437172
میخوام بدونم رابطه ی P[SUB]n[/SUB](ju) و Q[SUB]n[/SUB](ju) برحسب P[SUB]n[/SUB](u) و Q[SUB]n[/SUB](u) چیه؟ یا اصلا این توابع تعریف شده هستند؟ چه طوری تعریف میشن؟ نمودار تغییراتشون برحسب x چه طوریه؟کجا بی نهایت میشن کجا صفر؟ راه دیگه ای به جز تغییر متغیر برای این معادله وجود نداره؟ البته نه از راه سری یه جواب بر حسب توابع شناخته شده ای مثل لژاندر و... میخوام.
ممنون میشم اگه راهنماییم کنید.
با تشکر

با سلام
این معادله رو اگه بخواین با روشی غیر از روش سری حل کنید مثل معادله بسل پیراسته باید عمل کنید
A را بصورت (j)^-n فرض می کنیم (j به توان n- )
بعد در فرمول صریح pn به جای x مقدار ju قرار میدیم،همون جواب صریح لژاندر،
.......
فکر کنم مثل همون میشه با این تفاوت که عبارت 1- به توان k ار بین میره
تاپیک هایی که می زنین واقعا در حد کارشناسی نیست ،خیلی بالاتره...

 

[mahsa.a.j]

با سلام
این معادله رو اگه بخواین با روشی غیر از روش سری حل کنید مثل معادله بسل پیراسته باید عمل کنید
A را بصورت (j)^-n فرض می کنیم (j به توان n- )
بعد در فرمول صریح pn به جای x مقدار ju قرار میدیم،همون جواب صریح لژاندر،
.......
فکر کنم مثل همون میشه با این تفاوت که عبارت 1- به توان k ار بین میره
تاپیک هایی که می زنین واقعا در حد کارشناسی نیست ،خیلی بالاتره...

ممنون
منظوریتون اینطوریه دیگه؟

خوب الان که نمیشه y رو برحسب تابع لژاندر نوشت! تو تابع لژاندر x[SUP]2[/SUP]-1 داریم اینجا u[SUP]2[/SUP]+1 ! من یه جواب ساده برحسب توابع استاندارد و متعامدی مثل تابع لژاندر و... میخوام. به نظرتون برای این مسئله همچین جوابی میشه پیدا کرد؟
یه سوال دیگه؟ معادله بسل پیراسته که گفتید چیه؟

 

[mahsa.a.j]

ممنون
منظوریتون اینطوریه دیگه؟
مشاهده پیوست 437361
خوب الان که نمیشه y رو برحسب تابع لژاندر نوشت! تو تابع لژاندر x[SUP]2[/SUP]-1 داریم اینجا u[SUP]2[/SUP]+1 ! من یه جواب ساده برحسب توابع استاندارد و متعامدی مثل تابع لژاندر و... میخوام. به نظرتون برای این مسئله همچین جوابی میشه پیدا کرد؟
یه سوال دیگه؟ معادله بسل پیراسته که گفتید چیه؟

البته فکر کنم منظور شما این یکی فرمول بود:

ولی باز از اون راه -1 به توان k از بین میره و باز نمیشه y رو برحسب تابع لژاندر با آرگومان حقیقی نوشت!
تو تابع بسل پیراسته که گفتید یعنی همین کارها رو برای فرمول صریح تابع بسل انجام میدیم؟ اونوقت تو تابع بسل میشه توابعی که آرگومانشون موهومی هست رو برحسب آرگومان حقیقی شون نوشت؟ یعنی J(jx) رو بر حسب J(x) نوشت؟

 

[pindol]

با سلام،
منظورم من این فرمول pn بود که از روش سری بدست میاد. اونی که شما نوشتین فرمول رودریگز هست(که باید بدست آوردنش اثبات بشه)

حالا طریق جایگذاری اون A که گفتم رو تو این عکس نوشتم،با معادله بسل پیراسته و طریقه بدست آوردن جوابش


من i را رادیکال 1- فرض کردم شما j
دوتا از مهمترین تابع بسل ها رو هم نوشتم

 

[mahsa.a.j]

با سلام،
منظورم من این فرمول pn بود که از روش سری بدست میاد. اونی که شما نوشتین فرمول رودریگز هست(که باید بدست آوردنش اثبات بشه)
مشاهده پیوست 437440
حالا طریق جایگذاری اون A که گفتم رو تو این عکس نوشتم،با معادله بسل پیراسته و طریقه بدست آوردن جوابش

مشاهده پیوست 437445
من i را رادیکال 1- فرض کردم شما j
دوتا از مهمترین تابع بسل ها رو هم نوشتم

بسیار ممنون راهنماییهاتون مفید بود به اطلاعاتم اضافه شد. ولی باز من من یه جواب ساده برحسب توابع استاندارد و متعامدی مثل تابع لژاندر و... میخوام. یعنی به نظرتون نمیشه برای این مسئله همچین جوابی پیدا کرد؟!

 

[pindol]

بسیار ممنون راهنماییهاتون مفید بود به اطلاعاتم اضافه شد. ولی باز من من یه جواب ساده برحسب توابع استاندارد و متعامدی مثل تابع لژاندر و... میخوام. یعنی به نظرتون نمیشه برای این مسئله همچین جوابی پیدا کرد؟!

خواهش می کنم
مگه جوابی که برای معادله بدست آوردیم قدر مطلق pn(x نیست؟
روش معمولی حل این گونه معادلات روش سری هست و برای معادلات خاص روش فروبنیوس
فرم این معادلات با فرم استاندارد فرق می کنه باید جوابشون هم فرق کنه
بیشتر سعی کنید رو لژاندر و بسل تمرکز کنید و در مورد خاصیت ها و نرم و ... تحقیق کنید

 

[mahsa.a.j]

خواهش می کنم
مگه جوابی که برای معادله بدست آوردیم قدر مطلق pn(x نیست؟
روش معمولی حل این گونه معادلات روش سری هست و برای معادلات خاص روش فروبنیوس
فرم این معادلات با فرم استاندارد فرق می کنه باید جوابشون هم فرق کنه
بیشتر سعی کنید رو لژاندر و بسل تمرکز کنید و در مورد خاصیت ها و نرم و ... تحقیق کنید

نه فکر نکنم قدر مطلقش باشه اینجا رو نگاه کنید:
مشاهده پیوست 437512
تازه اگرم باشه به دردم نمیخوره چون قدرمطلقهای توابع لژاندر دیگه به هم متعامد نیستند هستند؟ من حتما میخوام متعامد باشن. البته دونستن جواب این سوال الان خیلی ضروری نیست برام ولی در کل راهنماییهاتون مفید بود ممنون
فقط یه سوال دیگه؟ میشه درمورد روش فروبنیوس هم که گفتید یه توضیح کوچیک بدید؟
با تشکر

 

[pindol]

قدر مطلقه دیگه.این Y که برحسب u بدست آوردین u^2+1 , قدر مطلق جملات u^2-1 می باشد.
روش فروبنیوس در مورد حل معادلات درجه دومی هست که ضرایب معادله،توابعی تحلیلی در 0=x نیستند.فرض می کنیم در این حالت که جواب ما یا y به صورت x به توان r ضربدر زیگما n از 0 تا بی نهایت،an در x به توان m باشد
روش سری توانی حالتی خاصی از این روش است که 0=r
تفاوتش در اینه که وقتی از y مشتق می گیری باز n از 0 شروع میشه و همچنین در مورد مشتق دوم....
حالا این r از معادله مشخصه بدست میاد که واسه سه حالت r جواب های مختلف تعریف می کنیم...
حالت یک 2 ریشه متفاوت ولی تفاضلشون عدد صحیح نیست
حالت دوم .2 ریشه مساوی
حالت سوم. 2 ریشه متفاوت ولی تفاضلشون عدد صحیحی است
الی آخر..........